Zusammenfassung von Quadratische Funktion zweiten Grades: Maxima und Minima

Ziele

1. Das Verständnis der Maximal- und Minimalwerte quadratischer Funktionen erlangen.

2. Die Anwendung der Berechnung von Maxima und Minima in praktischen Problemen, wie dem Ermitteln der größten Fläche eines Rechtecks bei vorgegebenem Umfang.

3. Analytische Fähigkeiten ausbauen, indem mathematische Probleme im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen erkannt und gelöst werden.

4. Förderung des kooperativen Lernens durch praxisorientierte Gruppenaufgaben.

Kontextualisierung

Quadratische Funktionen bilden die Grundlage für die Darstellung zahlreicher realer Situationen, beispielsweise bei der Flugbahn eines Projektils, der Gewinnmaximierung in Unternehmen oder der Optimierung von Flächen und Volumina in ingenieurtechnischen Projekten. So nutzen wir etwa eine quadratische Funktion, um die maximale Höhe einer Rakete zu berechnen. Ein weiteres Beispiel stellt die Ressourcenoptimierung in einem Betrieb dar, bei der quadratische Funktionen helfen, den Punkt höchster Effizienz oder Gewinnmaximierung zu ermitteln. Die Fähigkeit, die Extrempunkte dieser Funktionen zu finden, ist daher essenziell, um praktische Probleme effizient und wirkungsvoll zu lösen.

Fachrelevanz

Zu erinnern!

Begriff der quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion ist ein Polynom zweiten Grades, das typischerweise in der Form f(x) = ax² + bx + c dargestellt wird – wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0 gelten muss. Der Graph einer quadratischen Funktion ist stets eine Parabel, die je nach Wert von a entweder nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist.

• Der Graph verläuft als Parabel.

• Die Koeffizienten a, b und c bestimmen die Form und Lage der Parabel.

• Der Koeffizient a regelt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

Identifikation der Koeffizienten a, b und c

Um Probleme mit quadratischen Funktionen zu lösen, ist es unerlässlich, die Koeffizienten a, b und c in der Gleichung f(x) = ax² + bx + c korrekt zu bestimmen. Diese Werte beeinflussen maßgeblich Eigenschaften wie Öffnungsrichtung, Breite und Position der Parabel im Koordinatensystem.

• Der Koeffizient a wirkt sich auf die Weite und die Öffnungsrichtung der Parabel aus.

• Mit Hilfe des Koeffizienten b lässt sich die horizontale Position des Scheitelpunkts ermitteln.

• Der Koeffizient c repräsentiert den Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse.

Scheitelpunkt der Parabel

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist jener Punkt, an dem die Funktion ihren höchsten oder tiefsten Wert annimmt. Für eine Funktion f(x) = ax² + bx + c kann der Scheitelpunkt mit den Formeln x = -b/(2a) und y = f(-b/(2a)) berechnet werden. Dieser Punkt ist zentral, um die Extremstellen der Funktion zu bestimmen.

• Die x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet sich über -b/(2a).

• Setzt man den gefundenen x-Wert in f(x) ein, so erhält man den y-Wert des Scheitelpunkts.

• Der Scheitelpunkt repräsentiert je nach Vorzeichen von a entweder den Tiefpunkt (a > 0) oder den Hochpunkt (a < 0) der Parabel.

Praktische Anwendungen

• Ingenieurwesen: Ermittlung der maximalen Höhe eines Projektils oder einer Rakete durch Modellierung der Flugbahn mit einer quadratischen Funktion.

• Wirtschaft und Betriebsführung: Gewinnmaximierung oder Kostenminimierung durch den Einsatz quadratischer Funktionen zur Darstellung von Einnahmen und Ausgaben.

• Architektur und Design: Optimierung von Flächen oder Volumina, beispielsweise die Berechnung der größtmöglichen Fläche eines Rechtecks bei gegebenem Umfang.

Schlüsselbegriffe

• Quadratische Funktion: Ein Polynom zweiten Grades, dargestellt durch f(x) = ax² + bx + c.

• Koeffizienten a, b und c: Kennzahlen, die Form und Lage der Parabel bestimmen.

• Scheitelpunkt: Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel, berechnet mit x = -b/(2a) und y = f(-b/(2a)).

Fragen zur Reflexion

• Wie hilft die korrekte Bestimmung der Koeffizienten a, b und c bei der Lösung realer Aufgaben?

• Inwiefern können praktische Anwendungen von Maxima und Minima den wirtschaftlichen Erfolg eines Unternehmens beeinflussen?

• Welche Schwierigkeiten könnten bei der Modellierung praktischer Probleme mit quadratischen Funktionen auftreten und wie lassen sich diese überwinden?

Abschlussaufgabe: Ressourcenoptimierung in einem Unternehmen

Wendet die erlernten Kenntnisse zu quadratischen Funktionen an, um ein praxisnahes Problem der Ressourcenoptimierung in einem Unternehmen zu lösen.

Anweisungen

• Bildet Gruppen von 3 bis 4 Schülerinnen und Schülern.

• Erstellt ein Modell für die Einnahmenfunktion R(x) = -5x² + 50x - 80, wobei x die Anzahl der verkauften Einheiten darstellt.

• Findet den Scheitelpunkt der Funktion, um die Einheitenzahl zu bestimmen, die den höchsten Umsatz erzielt.

• Berechnet den maximal möglichen Umsatz für das Unternehmen.

• Präsentiert eure Berechnungen und Ergebnisse der Klasse und erläutert die zugrunde liegende Logik.