Resumen Tradisional | Números Complejos: Producto y División

Contextualización

Los números complejos amplían el conjunto de los reales, permitiendo resolver ecuaciones que no tienen solución dentro de estos últimos. Se expresan en la forma a + bi, donde a y b son reales e i es la unidad imaginaria, con la propiedad de que i² = -1. En su forma trigonométrica se representan como z = r(cos θ + i sen θ), siendo r el módulo y θ el argumento del número complejo. Esta representación resulta especialmente práctica a la hora de efectuar operaciones como la multiplicación y la división, ya que simplifica los cálculos y facilita la comprensión de sus propiedades.

La forma trigonométrica se emplea habitualmente en diversas ramas como la ingeniería eléctrica y la física. Por ejemplo, en el análisis de circuitos se hace indispensable para describir la impedancia, que combina resistencia y reactancia. Aprender a manejar los números complejos en esta forma es esencial para el desarrollo de tecnologías actuales, como los smartphones y ordenadores, que dependen de estas operaciones para funcionar correctamente.

¡Para Recordar!

Representación Trigonométrica de Números Complejos

La representación trigonométrica es una manera alternativa de expresar los números complejos, además de la forma algebraica (a + bi). En esta forma, un número complejo z se escribe como z = r(cos θ + i sen θ), donde r es el módulo y θ el ángulo que forma el vector con el eje real positivo. El módulo r indica la distancia desde el origen hasta el punto correspondiente en el plano complejo, mientras que el argumento θ representa el ángulo del rayo que une el origen con ese punto.

Para transformar un número de su forma algebraica a la trigonométrica, se calcula primero el módulo r = √(a² + b²) y luego el argumento θ = arctan(b/a). Esta representación simplifica notablemente la multiplicación y división al aprovechar las propiedades de los senos y cosenos, permitiendo realizar estas operaciones de forma más directa.

Además, ver el número complejo desde un enfoque geométrico resulta muy útil para comprender las transformaciones que se producen, como la rotación y escalado al multiplicar, o la reducción y rotación inversa al dividir.

• Expresa los números complejos como z = r(cos θ + i sen θ).

• El módulo (r) indica la distancia hasta el punto en el plano complejo.

• El argumento (θ) es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo.

Multiplicación de Números Complejos en Forma Trigonométrica

Multiplicar números complejos en forma trigonométrica resulta mucho más sencillo gracias a la fórmula: z1 * z2 = r1 * r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)]. Aquí, r1 y r2 son los módulos de z1 y z2, y θ1 y θ2 sus correspondientes argumentos. Es decir, al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus ángulos.

Por ejemplo, si tenemos z1 = 3(cos π/4 + i sen π/4) y z2 = 2(cos π/6 + i sen π/6), el resultado se obtiene multiplicando los módulos (3 x 2 = 6) y sumando los argumentos (π/4 + π/6 = 5π/12). Así, el producto es z1 * z2 = 6 [cos(5π/12) + i sen(5π/12)].

Esta técnica evita la expansión y simplificación laboriosa que exige la forma algebraica, ofreciendo además una interpretación clara de la operación como una combinación de rotación y escalado en el plano.

• Multiplica los módulos y suma los argumentos.

• Utiliza la fórmula z1 * z2 = r1 * r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)].

• Simplifica los cálculos respecto a la forma algebraica.

División de Números Complejos en Forma Trigonométrica

Para dividir números complejos en forma trigonométrica se utiliza la fórmula: z1 / z2 = r1 / r2 [cos(θ1 - θ2) + i sen(θ1 - θ2)]. De esta manera, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

Por ejemplo, si consideramos z1 = 5(cos 3π/4 + i sen 3π/4) y z2 = 2(cos π/3 + i sen π/3), dividiendo los módulos (5 / 2 = 2.5) y restando los ángulos (3π/4 - π/3 = 5π/12) se obtiene que z1 / z2 = 2.5 [cos(5π/12) + i sen(5π/12)].

La división en forma trigonométrica es ventajosa porque evita el procedimiento de multiplicar por el conjugado que se requiere en la forma algebraica, además de ofrecer una visualización gráfica del proceso como una reducción en el tamaño y una rotación inversa.

• Divide los módulos y resta los argumentos.

• Utiliza la fórmula z1 / z2 = r1 / r2 [cos(θ1 - θ2) + i sen(θ1 - θ2)].

• Hace los cálculos más directos en comparación con la forma algebraica.

Conversión entre Formas Trigonométrica y Algebraica

Para convertir un número complejo de su forma trigonométrica a la algebraica se emplean las identidades trigonométricas, calculando sus partes real e imaginaria. Si z = r(cos θ + i sen θ), entonces la parte real es a = r cos θ y la parte imaginaria es b = r sen θ, resultando la forma z = a + bi.

Por ejemplo, si z = 12 [cos(5π/6) + i sen(5π/6)], sabiendo que cos(5π/6) = -√3/2 y sen(5π/6) = 1/2, se tiene que z = 12(-√3/2 + i 1/2) = -6√3 + 6i. Esta conversión permite verificar resultados obtenidos mediante la forma trigonométrica y es especialmente útil en operaciones como la suma o la resta, donde la forma algebraica se adapta mejor.

Dominar esta conversión es clave para ampliar la comprensión de las propiedades y aplicaciones de los números complejos.

• Emplea identidades trigonométricas para pasar a la forma algebraica.

• La parte real es a = r cos θ y la imaginaria es b = r sen θ.

• Facilita la comprobación de resultados y la resolución de operaciones.

Términos Clave

• Números Complejos: Extensión de los reales expresados como a + bi.

• Forma Trigonométrica: Representación de números complejos como z = r(cos θ + i sen θ).

• Módulo: Distancia desde el origen hasta el punto que representa el número complejo en el plano.

• Argumento: Ángulo formado por el vector que une el origen con el punto en el eje real positivo.

• Producto de Números Complejos: Operación que multiplica los módulos y suma los ángulos.

• División de Números Complejos: Operación que divide los módulos y resta los ángulos.

• Conversión: Proceso para transformar entre las formas trigonométrica y algebraica mediante identidades trigonométricas.

Conclusiones Importantes

En esta lección hemos profundizado en la representación trigonométrica de los números complejos, resaltando su utilidad práctica para efectuar operaciones de multiplicación y división. Hemos visto que multiplicar implica multiplicar los módulos y sumar los argumentos, mientras que dividir significa dividir los módulos y restar los ángulos. También se ha explicado cómo convertir los resultados de forma trigonométrica a la algebraica, deduciendo las partes real e imaginaria mediante las identidades correspondientes.

Comprender estas operaciones es vital en aplicaciones tan variadas como la ingeniería eléctrica y la física, donde los números complejos se utilizan para describir fenómenos como la impedancia en circuitos. La forma trigonométrica no solo simplifica los cálculos sino que también ofrece una visión geométrica muy intuitiva de los procesos.

Es fundamental dominar estos conceptos para afrontar con éxito problemas complejos y aprovechar al máximo su aplicación en las tecnologías actuales. Os animo a seguir explorando el tema y a practicar con numerosos ejemplos para afianzar estos conocimientos.

Consejos de Estudio

• Practica la conversión entre las formas algebraica y trigonométrica con diversos ejemplos.

• Resuelve ejercicios que impliquen la multiplicación y división de números complejos en forma trigonométrica, asegurándote de aplicar correctamente las fórmulas.

• Investiga aplicaciones reales de los números complejos en la ingeniería y la física para comprender mejor su relevancia en el mundo actual.