Concepto de Matriz Inversa; Fundamentos del Método Gauss-Jordan; Ejemplo Práctico 2x2 y 3x3; Casos Especiales y Verificación; Ventajas y Aplicaciones

Inversa por Gauss-Jordan

Matemáticas

Inversa por Gauss-Jordan

Cálculo sistemático de la matriz inversa.

Índice

• Concepto de Matriz Inversa

• Fundamentos del Método Gauss-Jordan

• Ejemplo Práctico 2x2 y 3x3

• Casos Especiales y Verificación

• Ventajas y Aplicaciones

La Matriz Inversa: Concepto Fundamental

La matriz inversa (A⁻¹) es el análogo matricial de la división escalar, permitiendo 'despejar' matrices en ecuaciones. Es crucial para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma AX=B, donde X = A⁻¹B.

Operaciones básicas de matrices: suma, producto escalar y multiplicación.

Calculando el determinante de una matriz 2x2: ad - bc.

Aplicaciones de la Matriz Inversa

• Criptografía: Codificación y decodificación de mensajes secretos.

• Circuitos Eléctricos: Análisis de corrientes y voltajes.

• Economía: Modelo de Leontief, análisis input-output.

• Robótica: Cinemática inversa para control de movimiento.

Métodos para Calcular la Inversa

Existen dos métodos principales: el de la adjunta, ideal para matrices pequeñas y comprensión teórica; y el de Gauss-Jordan, más eficiente para matrices grandes y nuestro enfoque principal.

Pre-requisitos: Matriz Identidad (I)

La Matriz Identidad (I) es una matriz cuadrada con unos en su diagonal principal y ceros en el resto. Actúa como el elemento neutro en la multiplicación matricial: AI = IA = A.

Operaciones Elementales de Fila (OEF)

• Intercambiar dos filas (Fi ↔ Fj).

• Multiplicar una fila por escalar no nulo (kFi → Fi).

• Sumar múltiplo de una fila a otra (Fi + kFj → Fi).

Fundamento del Método Gauss-Jordan

Si una matriz A es invertible, podemos transformarla en la matriz identidad (I) mediante Operaciones Elementales de Fila (OEF). Al aplicar estas mismas OEF simultáneamente a una matriz identidad I, esta se convierte en A⁻¹.

Construcción de la Matriz Aumentada

Para iniciar, unimos la matriz original A con la matriz identidad I de la misma dimensión. Esto forma la matriz aumentada [A | I].

De [A | I] a [I | A⁻¹]

El Resultado: ¡La Inversa A⁻¹!

Nuestro objetivo es transformar la matriz aumentada [A | I]. Aplicaremos Operaciones Elementales de Fila (OEF) para convertir 'A' en la matriz identidad 'I'.

Al lograr que la parte izquierda sea 'I', la parte derecha se convertirá automáticamente en la matriz inversa A⁻¹. Este es el poder del método Gauss-Jordan.

Tomemos la matriz A. Formamos la matriz aumentada uniendo A con la matriz identidad I.

Paso 1: Obtener '1' en el Pivote (1,1)

Para iniciar, transformamos el elemento en la posición (1,1) en un '1'. Dividimos toda la primera fila por el valor del pivote actual. Por ejemplo, si A = [[2, 1], [3, 2]], realizamos R1 → (1/2)R1.

Paso 2: Hacer Ceros Debajo del Pivote

Usa el '1' pivote para transformar los elementos debajo de él en ceros. Realiza operaciones de fila: R_i → R_i - (coeficiente)R_pivote. Por ejemplo, R2 → R2 - 3R1.

Paso 3: Obtener '1' en el Pivote (2,2)

Ahora, para hacer el elemento (2,2) un '1', dividimos toda la fila 2 por su valor actual. Si el valor es '2', la operación sería R2 → (1/2)R2. Esto nos acerca a la forma escalonada reducida.

Paso 4: Hacer Ceros Arriba del Pivote

Ahora, usando el '1' pivote de R2, creamos ceros en las posiciones superiores de su columna. Aplicamos operaciones de fila (ej. R1 → R1 - (1/2)R2) para transformar la matriz izquierda en la identidad.

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