Plan de leçon | Plan de leçon Tradisional | Triangles : Loi des cosinus

Objectifs

Durée: 10 - 15 minutes

L'objectif de cette étape est de donner aux élèves une compréhension solide des concepts de base concernant la Loi des cosinus. Grâce à cette connaissance, ils seront en mesure de l'utiliser dans des contextes pratiques, comme résoudre des problèmes géométriques liés à la détermination des côtés ou des angles des triangles. Cette phase est cruciale pour établir une base théorique qui sera exploitée dans les activités suivantes de la leçon.

Objectifs Utama:

1. Expliquer en détail la Loi des cosinus et sa formule mathématique (a² = b² + c² - 2bc cos α).

2. Démontrer comment appliquer la Loi des cosinus pour calculer les côtés d'un triangle.

3. Enseigner comment résoudre des problèmes impliquant la détermination d'un angle d'un triangle à partir d'un cosinus connu.

Introduction

Durée: 10 - 15 minutes

L'objectif de cette étape est de donner aux élèves une compréhension solide des concepts fondamentaux de la Loi des cosinus. Avec cette connaissance, ils pourront l'appliquer dans des situations pratiques, à l'instar de la résolution de problèmes géométriques sur les côtés ou les angles des triangles. Cette étape est essentielle pour poser une base théorique qui sera utilisée dans les activités suivantes de la leçon.

Le saviez-vous ?

Saviez-vous que la Loi des cosinus est souvent utilisée en navigation maritime et en astronomie ? Par exemple, elle peut servir à calculer la distance entre deux points à la surface de la Terre, ce qui est crucial pour la navigation. De plus, les ingénieurs civils se servent de cette loi pour s'assurer de la stabilité des structures comme les ponts et les immeubles.

Contextualisation

Pour débuter notre leçon sur la Loi des cosinus, il est essentiel de garder en tête que nous parlons des triangles, des formes géométriques fondamentales présentes dans divers domaines, comme l'architecture et l'ingénierie. La Loi des cosinus est un outil puissant qui permet de résoudre des triangles quelconques, c’est-à-dire ceux qui ne possèdent pas d'angle droit. Cette loi généralise le théorème de Pythagore et est particulièrement utile quand on connaît deux côtés et l'angle qui les unit, ou quand on a tous les côtés d'un triangle pour déterminer un angle particulier.

Concepts

Durée: 60 - 70 minutes

L'objectif de cette étape est d'approfondir la compréhension des élèves concernant la Loi des cosinus, en s'assurant qu'ils peuvent appliquer la formule dans des contextes variés et résoudre différents problèmes. Cette maîtrise sera essentielle pour qu'ils puissent utiliser la Loi des cosinus efficacement dans leurs études et dans des situations pratiques à venir.

Sujets pertinents

1. Définition de la Loi des cosinus : Expliquer la formule de la Loi des cosinus (a² = b² + c² - 2bc cos α) et insister sur le fait qu'il s'agit d'une extension du théorème de Pythagore pour les triangles quelconques. Souligner que la Loi des cosinus permet de trouver un côté inconnu d'un triangle lorsque deux côtés et l'angle entre eux sont connus, ou de déterminer un angle lorsque tous les côtés d'un triangle sont donnés.

2. Démonstration de la Loi des cosinus : Présenter la démonstration de la Loi des cosinus par le biais de décomposition vectorielle et de trigonométrie. Insister sur l'importance de comprendre l'origine de la formule pour renforcer la compréhension des élèves.

3. Applications Pratiques de la Loi des cosinus : Fournir des exemples concrets de l'utilisation de la Loi des cosinus dans différents domaines comme la navigation, l'ingénierie et l'astronomie. Illustrer un exemple précis pour chaque domaine afin de mettre en lumière l'application de la formule.

4. Exemples Résolus : Résoudre des problèmes étape par étape au tableau, montrant comment appliquer la Loi des cosinus pour calculer des côtés et des angles inconnus. Inclure une diversité d'exemples, des plus simples aux plus élaborés, pour s'assurer que chaque élève peut suivre et comprendre.

Pour renforcer l'apprentissage

1. Pour un triangle avec des côtés de 7 cm, 10 cm, et un angle de 45° entre eux, calculez la longueur du côté manquant.

2. Dans un triangle avec des côtés de 8 cm, 6 cm, et 5 cm, déterminez l'angle opposé au côté de 5 cm.

3. Un ingénieur doit calculer la distance entre deux points sur un terrain triangulaire. Les côtés mesurent 50 m et 40 m, avec un angle de 60° entre eux. Quelle est la distance entre ces deux points ?

Retour

Durée: 15 - 20 minutes

L'objectif de cette étape est de renforcer l'apprentissage, permettant ainsi aux élèves de revoir et discuter des solutions aux questions abordées. Cela consolide leur compréhension de la Loi des cosinus et de ses applications, tout en offrant un espace pour clarifier d'éventuels doutes et réfléchir sur les difficultés rencontrées.

Diskusi Concepts

1. 💡 Discussion de la Question 1 : Pour un triangle avec des côtés de 7 cm, 10 cm, et un angle de 45° entre eux, calculez la longueur du côté manquant. 2. Utilisez la formule de la Loi des cosinus : a² = b² + c² - 2bc cos α. 3. Substituez les valeurs connues : a² = 7² + 10² - 2(7)(10) cos 45°. 4. Calculez les valeurs : a² = 49 + 100 - 2(7)(10)(0,7071). 5. Simplifiez : a² = 149 - 99,994 ≈ 49,006. 6. Prenez la racine carrée : a ≈ 7,00 cm. 7. 👉 Le côté manquant mesure environ 7 cm. 8. 💡 Discussion de la Question 2 : Dans un triangle avec des côtés de 8 cm, 6 cm, et 5 cm, déterminez l'angle opposé au côté de 5 cm. 9. Utilisez la formule de la Loi des cosinus : cos α = (b² + c² - a²) / 2bc. 10. Substituez les valeurs connues : cos α = (6² + 8² - 5²) / 2(6)(8). 11. Calculez les valeurs : cos α = (36 + 64 - 25) / 96. 12. Simplifiez : cos α = 75 / 96 ≈ 0,78125. 13. Utilisez la fonction cosinus inverse : α ≈ cos⁻¹(0,78125). 14. Calculez l'angle : α ≈ 38,68°. 15. 👉 L'angle opposé au côté de 5 cm est d'environ 38,68°. 16. 💡 Discussion de la Question 3 : Un ingénieur doit calculer la distance entre deux points sur un terrain triangulaire. Les côtés mesurent 50 m et 40 m, avec un angle de 60° entre eux. Quelle est la distance entre ces deux points ? 17. Utilisez la formule de la Loi des cosinus : a² = b² + c² - 2bc cos α. 18. Substituez les valeurs connues : a² = 50² + 40² - 2(50)(40) cos 60°. 19. Calculez les valeurs : a² = 2500 + 1600 - 2(50)(40)(0,5). 20. Simplifiez : a² = 4100 - 2000 = 2100. 21. Prenez la racine carrée : a ≈ 45,83 m. 22. 👉 La distance entre les deux points est d'environ 45,83 m.

Engager les étudiants

1. ❓ Questions et Réflexions 2. Pourquoi la Loi des cosinus est-elle utile dans les triangles quelconques ? 3. Comment la Loi des cosinus peut-elle être envisagée comme une extension du théorème de Pythagore ? 4. Dans quelles situations réelles pouvez-vous envisager d'appliquer la Loi des cosinus ? 5. Avez-vous rencontré des difficultés lorsque vous avez utilisé la Loi des cosinus ? Si oui, lesquelles ? 6. Comment la précision des valeurs de cosinus peut-elle influencer les calculs finaux ? 7. Lequel des exemples discutés avez-vous trouvé le plus intéressant ? Pourquoi ?

Conclusion

Durée: 10 - 15 minutes

L'objectif de cette étape est de conclure l'apprentissage en résumant les points clés abordés durant la leçon, consolidant ainsi le lien entre la théorie et la pratique. Cela permet aux élèves de revoir le contenu de manière structurée, de saisir l'importance du sujet traité et de se préparer à appliquer la Loi des cosinus dans de futures situations. Cette étape offre également un moment de réflexion et de clarification des derniers doutes pour garantir une compréhension complète du sujet.

Résumé

['La Loi des cosinus est une formule mathématique qui permet de déterminer les côtés et les angles des triangles quelconques.', 'La formule est : a² = b² + c² - 2bc cos α.', 'La Loi des cosinus peut être considérée comme une généralisation du théorème de Pythagore.', "Elle peut s'appliquer pour trouver un côté manquant lorsque deux côtés et l'angle entre eux sont connus, ou pour déterminer un angle si tous les côtés sont connus.", "La Loi des cosinus trouve des applications dans divers domaines tels que la navigation, l'ingénierie et l'astronomie."]

Connexion

Cette leçon a établi un lien entre la théorie et la pratique, en démontrant comment on peut appliquer la Loi des cosinus à des problèmes concrets, tels que le calcul de distances sur des surfaces triangulaires ou la détermination d'angles dans des structures. Les exemples résolus étape par étape ont aidé à illustrer comment on peut utiliser la formule dans différents contextes, facilitant ainsi la compréhension des étudiants sur l'importance et l'utilité de la Loi des cosinus pour résoudre des problèmes géométriques complexes.

Pertinence du thème

La Loi des cosinus est un outil essentiel en mathématiques et dans les sciences appliquées, car elle permet de résoudre des problèmes liés à des triangles quelconques. Son utilisation est fondamentale dans plusieurs domaines pratiques, comme l'ingénierie pour garantir la stabilité des structures, la navigation pour estimer les distances entre des points sur la Terre, et l'astronomie pour déterminer la position des étoiles. Maîtriser cette loi améliore la capacité des élèves à résoudre des problèmes complexes et à les appliquer dans des situations concrètes.