Plan de Cours | Méthodologie Active | Analyse Combinatoire : Factorielle

Hypothèses: Ce Plan de Cours Actif suppose : une durée de cours de 100 minutes, une étude préalable des élèves à la fois avec le Livre et le début du développement du Projet, et qu'une seule activité (parmi les trois suggérées) sera choisie pour être réalisée pendant le cours, car chaque activité est conçue pour occuper une grande partie du temps disponible.

Objectif

Durée: (5 - 10 minutes)

Cette phase permet de clarifier ce qui est attendu des élèves en termes d'apprentissages après la séance. Elle est essentielle pour aligner les objectifs et instaurer une compréhension commune entre enseignants et élèves. En définissant des objectifs précis, les élèves peuvent concentrer efficacement leur attention et leurs efforts lors des activités pratiques, optimisant ainsi le temps en classe.

Objectif Utama:

1. Permettre aux élèves de saisir le concept de factorielle et d’en comprendre l’utilité en analyse combinatoire, afin qu'ils puissent calculer les factorielles de nombres naturels et identifier leurs propriétés.

2. Offrir aux élèves l’opportunité d’appliquer les factorielles dans le cadre d’équations et d’expressions mathématiques, en leur permettant de manipuler ces calculs et de résoudre des problèmes qui en dépendent.

Objectif Tambahan:

1. Développer des compétences en raisonnement logique et mathématique en manipulant les nombres factoriels et en explorant leurs propriétés.

Introduction

Durée: (15 - 20 minutes)

Cette introduction a pour but d’engager les élèves en passant en revue rapidement les notions relatives à la factorielle, tout en contextualisant leur importance dans le quotidien et dans l’histoire des mathématiques. En s’appuyant sur des situations-problèmes, les élèves sont encouragés à mobiliser leurs connaissances antérieures de façon pratique, les préparant ainsi aux activités plus complexes à venir.

Situation Basée sur un Problème

1. Imaginez qu’à un concours de beauté, 5 concurrentes se présentent. Le jury doit attribuer la première, la deuxième et la troisième place. Combien de façons différentes peut-il choisir les gagnantes ?

2. Dans une bibliothèque où 10 ouvrages doivent être organisés sur une étagère, combien de configurations distinctes sont possibles pour disposer ces livres ?

Contextualisation

La factorielle est un concept fondamental, non seulement en mathématiques, mais aussi dans de nombreux domaines concrets comme l'informatique, l'ingénierie ou l'économie. Par exemple, en informatique, elle est utilisée dans des algorithmes de tri et de recherche. Par ailleurs, les premières notions de factorielle remontent à des civilisations anciennes, avec des développements par des mathématiciens indiens et chinois. Fait intéressant, c’est le mathématicien français Christian Kramp qui, en 1808, introduisit le symbole '!' pour la représenter.

Développement

Durée: (65 - 75 minutes)

Cette phase de développement permet aux élèves d’appliquer concrètement et de manière ludique les notions de la factorielle abordées en début de cours. Grâce aux activités en groupe, ils explorent les mathématiques de façon collaborative et créative, consolidant leur compréhension des propriétés et applications des factorielles. Chaque scénario proposé recrée une situation réelle ou divertissante qui stimule leur raisonnement logique et leur esprit critique.

Suggestions d'Activités

Il est recommandé de ne réaliser qu'une seule des activités suggérées

Activité 1 - Le défi de l'anniversaire surprise

> Durée: (60 - 70 minutes)

- Objectif: Mettre en pratique le concept de factorielle dans un contexte ludique d’organisation d’événement, tout en développant les compétences en calcul et en créativité.

- Description: Les élèves planifieront une fête d'anniversaire surprise pour un ami, où tous les détails – du nombre d’invités à la décoration de la salle – seront élaborés à l’aide des concepts de factorielle. Le défi consiste à organiser l'événement de manière à surprendre tous les invités, en évitant les schémas répétitifs.

- Instructions:

• Diviser la classe en groupes de maximum 5 élèves.

• Chaque groupe doit utiliser les factorielles pour déterminer combien de manières différentes il est possible d’organiser la fête, en tenant compte des diverses configurations possibles pour les invités et la décoration.

• Calculer la factorielle de différents nombres clés liés à l’événement, par exemple pour le choix du gâteau ou l’agencement du mobilier.

• Présenter le plan de la fête en détaillant chaque calcul effectué et ses résultats.

Activité 2 - Le grand concours de l'arrangement musical

> Durée: (60 - 70 minutes)

- Objectif: Explorer l'utilisation de la factorielle pour résoudre des problèmes de combinaisons musicales, renforçant ainsi la compréhension des notions de combinaisons et de permutations.

- Description: Dans cette activité, les élèves doivent organiser un spectacle de talents à l’école, où différents arrangements musicaux sont proposés. Le but est d’utiliser les factorielles pour déterminer le nombre total d’arrangements possibles, en veillant à ne pas répéter les configurations.

- Instructions:

• Former des groupes de maximum 5 élèves.

• Chaque groupe choisit un genre musical et calcule le nombre d’arrangements possibles en considérant différentes combinaisons d’instruments et de voix.

• Utiliser les calculs de factorielles pour établir les différentes combinaisons possibles de participants et d’instruments.

• Préparer une présentation expliquant comment les factorielles ont été utilisées pour déterminer le nombre d’arrangements, et présenter un exemple d’arrangement, en direct ou sous forme d’enregistrement.

Activité 3 - Le mystère des livres dans la bibliothèque

> Durée: (60 - 70 minutes)

- Objectif: Renforcer les compétences en résolution de problèmes complexes grâce aux factorielles, tout en approfondissant la notion de combinaisons.

- Description: Les élèves sont mis au défi de résoudre une énigme au sein de la bibliothèque de l'école, où 10 livres doivent être disposés sur une étagère selon un ordre précis, défini par des règles de combinaison spécifiques. L’objectif est de trouver la disposition correcte en se servant des factorielles.

- Instructions:

• Diviser la classe en groupes de maximum 5 personnes.

• Présenter l'énigme en expliquant qu’il faut placer chaque livre sur l’étagère dans un ordre bien déterminé.

• Chaque groupe doit utiliser les factorielles pour calculer toutes les dispositions possibles et identifier celle qui correspond aux indices fournis.

• Présenter la solution et expliquer le raisonnement ayant mené à l'utilisation des factorielles pour résoudre l'énigme.

Retour d'information

Durée: (15 - 20 minutes)

Cette étape vise à consolider l’apprentissage en permettant aux élèves de reformuler les connaissances acquises et de réfléchir à l’application concrète des factorielles dans divers contextes. La discussion de groupe aide également à lever les éventuelles incompréhensions, tout en favorisant le développement des compétences en communication et en collaboration.

Discussion en Groupe

Pour lancer la discussion de groupe, l’enseignant peut réunir l’ensemble des élèves et inviter chaque groupe à partager ses expériences et apprentissages issus des activités réalisées. On peut débuter par une brève introduction où chaque groupe présente son scénario et explique comment il a appliqué le concept de factorielle pour le résoudre. Par la suite, l’enseignant encouragera les élèves à comparer les différents défis rencontrés et à discuter de l’importance des factorielles dans la recherche de solutions, tout en explorant les stratégies mises en œuvre et les difficultés surmontées.

Questions Clés

1. Quels ont été les principaux défis lors de l’application du concept de factorielle dans les activités proposées ?

2. En quoi la maîtrise des factorielles a-t-elle facilité la résolution des problèmes abordés ?

3. Y a-t-il eu des surprises ou des découvertes particulières lors de l’utilisation des factorielles dans ces activités ?

Conclusion

Durée: (5 - 10 minutes)

La conclusion vise à renforcer les acquis de la séance en s’assurant que les élèves ont bien compris et sont capables d’appliquer les notions de factorielle dans divers contextes. Elle met aussi en lumière l’importance du sujet, tant en mathématiques pures que dans leurs applications pratiques, en récapitulant les points essentiels abordés et en garantissant une bonne mémorisation des concepts.

Résumé

Au cours de cette séance, les élèves ont exploré le concept de factorielle, apprenant à le calculer et à l’utiliser dans des contextes tant théoriques que pratiques. Ils ont revisité les propriétés des factorielles et leur application dans des problèmes de combinaisons et de permutations, illustrée par des exemples concrets comme l’organisation de fêtes et d’événements.

Connexion avec la Théorie

La séance a su relier la théorie à la pratique en proposant des activités qui simulaient des situations réelles, telles que l’organisation d’événements ou la résolution d’énigmes, démontrant ainsi l’applicabilité directe des mathématiques dans le quotidien. Les élèves ont découvert que les mathématiques ne se résument pas à des concepts abstraits, mais jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines.

Clôture

La maîtrise de la factorielle est cruciale non seulement en mathématiques, mais également dans des domaines tels que l'informatique, l'économie et l'ingénierie. Savoir manipuler ces calculs permet de résoudre efficacement des problèmes complexes, soulignant l’importance de la pensée mathématique tant dans les solutions théoriques que pratiques.