Plan de Cours | Méthodologie Traditionnelle | Triangles : Loi des cosinus

Objectifs

Durée: 10 - 15 minutes

L'objectif de cette étape est de fournir aux élèves une compréhension solide des concepts fondamentaux de la Loi des Cossenes. Ainsi, les élèves seront capables d'appliquer ces connaissances dans des situations pratiques, telles que résoudre des problèmes géométriques impliquant la détermination de côtés ou d'angles de triangles. Cette étape est cruciale pour établir une base théorique qui sera utilisée dans les activités suivantes du cours.

Objectifs Principaux

1. Expliquer en détail la Loi des Cossenes et sa formule mathématique (a² = b² + c² - 2bc cos α).

2. Démontrer comment appliquer la Loi des Cossenes pour calculer les côtés d'un triangle.

3. Enseigner à résoudre des problèmes impliquant la détermination d'un angle d'un triangle en utilisant le cosinus connu.

Introduction

Durée: 10 - 15 minutes

L'objectif de cette étape est de fournir aux élèves une compréhension solide des concepts fondamentaux de la Loi des Cossenes. Ainsi, les élèves seront capables d'appliquer ces connaissances dans des situations pratiques, telles que résoudre des problèmes géométriques impliquant la détermination de côtés ou d'angles de triangles. Cette étape est cruciale pour établir une base théorique qui sera utilisée dans les activités suivantes du cours.

Contexte

Pour commencer notre cours sur la Loi des Cossenes, il est important de rappeler que nous travaillons avec des triangles, des formes géométriques fondamentales que l'on rencontre dans divers domaines, de l'architecture à l'ingénierie. La Loi des Cossenes est un outil puissant qui nous permet de résoudre des triangles obliques, c'est-à-dire ceux qui n'ont pas un angle droit. Cette loi est une généralisation du Théorème de Pythagore et est extrêmement utile lorsque nous connaissons deux côtés et l'angle entre eux, ou tous les côtés d'un triangle et que nous voulons trouver un angle spécifique.

Curiosités

Saviez-vous que la Loi des Cossenes est souvent utilisée en navigation et en astronomie ? Par exemple, elle peut être utilisée pour calculer la distance entre deux points à la surface de la Terre, ce qui est essentiel pour la navigation maritime et aérienne. De plus, les ingénieurs civils appliquent cette loi pour déterminer la stabilité des structures, telles que les ponts et les bâtiments.

Développement

Durée: 60 - 70 minutes

L'objectif de cette étape est d'approfondir la compréhension des élèves sur la Loi des Cossenes, en veillant à ce qu'ils puissent appliquer la formule dans différents contextes et résoudre divers problèmes. Cette compréhension sera essentielle pour qu'ils puissent utiliser la Loi des Cossenes de manière efficace dans leurs activités académiques et lors de la résolution de problèmes pratiques à l'avenir.

Sujets Couverts

1. Définition de la Loi des Cossenes : Expliquez la formule de la Loi des Cossenes (a² = b² + c² - 2bc cos α) et soulignez qu'elle est une extension du Théorème de Pythagore pour les triangles obliques. Renforcez que la Loi des Cossenes peut être utilisée pour trouver un côté inconnu d'un triangle lorsque nous connaissons deux côtés et l'angle entre eux, ou pour déterminer un angle lorsque nous connaissons tous les côtés du triangle. 2. Démonstration de la Loi des Cossenes : Présentez la démonstration de la Loi des Cossenes en utilisant la décomposition de vecteurs et la trigonométrie. Soulignez l'importance de comprendre l'origine de la formule pour solidifier la compréhension des élèves. 3. Applications Pratiques de la Loi des Cossenes : Fournissez des exemples pratiques de la manière dont la Loi des Cossenes est utilisée dans différents domaines, tels que la navigation, l'ingénierie et l'astronomie. Expliquez un exemple détaillé de chaque domaine pour illustrer l'application de la formule. 4. Exemples Résolus : Résolvez des problèmes étape par étape au tableau, en démontrant comment appliquer la Loi des Cossenes pour calculer des côtés et des angles inconnus. Incluez des exemples variés, des plus simples aux plus complexes, pour garantir que tous les élèves puissent suivre et comprendre.

Questions en Classe

1. Étant donné un triangle avec des côtés de 7 cm, 10 cm et un angle de 45° entre eux, calculez la longueur du côté inconnu. 2. Dans un triangle avec des côtés de 8 cm, 6 cm et 5 cm, déterminez l'angle opposé au côté de 5 cm. 3. Un ingénieur doit calculer la distance entre deux points dans un terrain triangulaire. Les côtés mesurent 50 m et 40 m, avec un angle de 60° entre eux. Quelle est la distance entre les deux points ?

Discussion des Questions

Durée: 15 - 20 minutes

L'objectif de cette étape est de consolider l'apprentissage, permettant aux élèves de revoir et de discuter des solutions aux questions présentées. Cela renforce la compréhension de la Loi des Cossenes et son application pratique, tout en promouvant un espace pour clarifier les doutes et réfléchir sur les difficultés rencontrées.

Discussion

• 💡 Discussion de la Question 1 : Étant donné un triangle avec des côtés de 7 cm, 10 cm et un angle de 45° entre eux, calculez la longueur du côté inconnu.

• Utilisez la formule de la Loi des Cossenes : a² = b² + c² - 2bc cos α.

• Substituez les valeurs connues : a² = 7² + 10² - 2(7)(10) cos 45°.

• Calculez les valeurs : a² = 49 + 100 - 2(7)(10)(0.7071).

• Simplifiez : a² = 149 - 99.994 ≈ 49.006.

• Extrayez la racine carrée : a ≈ 7.00 cm.

• 👉 Le côté inconnu mesure environ 7 cm.

• 💡 Discussion de la Question 2 : Dans un triangle avec des côtés de 8 cm, 6 cm et 5 cm, déterminez l'angle opposé au côté de 5 cm.

• Utilisez la formule de la Loi des Cossenes : cos α = (b² + c² - a²) / 2bc.

• Substituez les valeurs connues : cos α = (6² + 8² - 5²) / 2(6)(8).

• Calculez les valeurs : cos α = (36 + 64 - 25) / 96.

• Simplifiez : cos α = 75 / 96 ≈ 0.78125.

• Utilisez la fonction inverse du cosinus : α ≈ cos⁻¹(0.78125).

• Calculez l'angle : α ≈ 38.68°.

• 👉 L'angle opposé au côté de 5 cm est d'environ 38.68°.

• 💡 Discussion de la Question 3 : Un ingénieur doit calculer la distance entre deux points dans un terrain triangulaire. Les côtés mesurent 50 m et 40 m, avec un angle de 60° entre eux. Quelle est la distance entre les deux points ?

• Utilisez la formule de la Loi des Cossenes : a² = b² + c² - 2bc cos α.

• Substituez les valeurs connues : a² = 50² + 40² - 2(50)(40) cos 60°.

• Calculez les valeurs : a² = 2500 + 1600 - 2(50)(40)(0.5).

• Simplifiez : a² = 4100 - 2000 = 2100.

• Extrayez la racine carrée : a ≈ 45.83 m.

• 👉 La distance entre les deux points est d'environ 45.83 m.

Engagement des Élèves

1. ❓ Questions et Réflexions 2. Pourquoi la Loi des Cossenes est-elle utile dans les triangles obliques ? 3. Comment la Loi des Cossenes peut-elle être considérée comme une extension du Théorème de Pythagore ? 4. Dans quelles situations pratiques du quotidien pouvez-vous appliquer la Loi des Cossenes ? 5. Avez-vous rencontré des difficultés en utilisant la Loi des Cossenes ? Si oui, lesquelles ? 6. Comment la précision des valeurs des cosinus peut-elle affecter les calculs finaux ? 7. Lequel des exemples discutés avez-vous trouvé le plus intéressant ? Pourquoi ?

Conclusion

Durée: 10 - 15 minutes

L'objectif de cette étape est de consolider l'apprentissage en résumant les principaux points abordés dans le cours, renforçant le lien entre théorie et pratique. Cela permet aux élèves de revoir le contenu de manière structurée, de comprendre l'importance du sujet présenté et d'être préparés à appliquer la Loi des Cossenes dans de futures situations. Cette étape offre également un moment pour la réflexion et l'éclaircissement des dernières questions, garantissant une compréhension complète du sujet.

Résumé

• La Loi des Cossenes est une formule mathématique utilisée pour trouver des côtés et des angles de triangles obliques.
• La formule est : a² = b² + c² - 2bc cos α.
• La Loi des Cossenes peut être vue comme une généralisation du Théorème de Pythagore.
• Elle peut être appliquée pour calculer un côté inconnu lorsque deux côtés et l'angle entre eux sont connus, ou pour déterminer un angle lorsque tous les côtés sont connus.
• La Loi des Cossenes est utilisée dans plusieurs domaines, tels que la navigation, l'ingénierie et l'astronomie.

Le cours a connecté la théorie à la pratique en démontrant l'application de la Loi des Cossenes dans des problèmes réels, comme le calcul de distances dans des terrains triangulaires et la détermination d'angles dans des structures. Les exemples résolus étape par étape ont aidé à illustrer comment la formule peut être utilisée dans différents contextes, facilitant la compréhension des élèves sur l'importance et l'utilité de la Loi des Cossenes dans la résolution de problèmes géométriques complexes.

La Loi des Cossenes est un outil essentiel en mathématiques et dans les sciences appliquées, car elle permet de résoudre des problèmes impliquant des triangles obliques. Son utilisation est fondamentale dans divers domaines pratiques, comme en ingénierie pour garantir la stabilité des structures, en navigation pour calculer des distances entre des points sur Terre, et en astronomie pour déterminer les positions des étoiles. Comprendre cette loi élargit la capacité des élèves à résoudre des problèmes complexes et à les appliquer dans des situations réelles.