Résumé de Équation Quadratique : Bhaskara

Objectifs

1. Comprendre pourquoi et comment résoudre une équation du second degré à l’aide de la formule de Bhaskara.

2. Repérer les coefficients a, b et c dans une équation du second degré.

3. Calculer le discriminant (Δ) et analyser les résultats obtenus.

4. Utiliser la formule de Bhaskara pour déterminer les solutions des équations quadratiques.

Contextualisation

Les équations du second degré se rencontrent partout : dans la construction d’un pont, l’analyse de la résistance des matériaux, la modélisation économique ou encore la création d’images numériques. Elles jouent aussi un rôle crucial en physique pour prévoir la trajectoire d’objets en mouvement. La formule de Bhaskara, élaborée par le mathématicien indien Bhaskara I au 7ème siècle, est un outil puissant pour résoudre ces équations et trouver des solutions à des problèmes complexes du quotidien.

Pertinence du sujet

À retenir !

Identifier les Coefficients a, b et c

Pour résoudre une équation du second degré, il est indispensable de repérer correctement les coefficients a, b et c dans l’équation ax² + bx + c = 0. Ces coefficients déterminent la forme de la parabole et sont essentiels pour calculer le discriminant ainsi qu’appliquer la formule de Bhaskara.

• Coefficient a : C’est le nombre associé à x² et il détermine l'orientation (ou concavité) de la courbe.

• Coefficient b : Ce coefficient, multiplié par x, influence la position du sommet de la parabole.

• Coefficient c : Terme constant indiquant le point d'intersection de la parabole avec l’axe des ordonnées.

Calculer le Discriminant (Δ)

Le discriminant, symbolisé par Δ, se calcule avec la formule Δ = b² - 4ac. Il renseigne sur le nombre et la nature des solutions de l’équation du second degré.

• Δ > 0 : L’équation possède deux solutions réelles distinctes.

• Δ = 0 : L’équation admet une solution réelle double.

• Δ < 0 : L’équation n’a pas de solutions réelles, mais deux solutions complexes.

Application de la Formule de Bhaskara

La formule de Bhaskara permet de trouver les solutions de l’équation du second degré. Exprimée par x = (-b ± √Δ) / (2a), elle permet, en fonction des coefficients et du discriminant, de calculer facilement les racines de l’équation.

• Étape 1 : Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac.

• Étape 2 : Remplacer les valeurs de a, b et Δ dans la formule de Bhaskara.

• Étape 3 : Résoudre l’équation pour obtenir les deux solutions x₁ et x₂.

Applications pratiques

• Génie Civil : Utilisation des équations quadratiques pour déterminer la résistance des matériaux et l’équilibre des forces dans une structure.

• Économie : Modélisation des fluctuations des marchés financiers et prévision des tendances économiques à l’aide des équations du second degré.

• Infographie : Création d’images numériques et simulation de mouvements, où les équations quadratiques aident à calculer les points d’intersection et les trajectoires.

Termes clés

• Équation Quadratique : Une équation polynomiale de degré 2, prenant la forme ax² + bx + c = 0.

• Coefficients a, b, et c : Les nombres multipliant respectivement x², x et le terme constant dans une équation du second degré.

• Discriminant (Δ) : La valeur calculée par Δ = b² - 4ac, qui détermine la nature des solutions de l’équation.

• Formule de Bhaskara : La formule x = (-b ± √Δ) / (2a), utilisée pour trouver les solutions d’une équation quadratique.

Questions pour réflexion

• En quoi la bonne identification des coefficients a, b et c influence-t-elle la résolution d’une équation quadratique ?

• Pourquoi le calcul du discriminant est-il déterminant dans la recherche des solutions d’une équation du second degré ?

• De quelle manière la formule de Bhaskara peut-elle être employée pour résoudre des problématiques concrètes dans votre future carrière professionnelle ?

Défi Pratique : Trajectoire d'une Fusée

Mettez en application la formule de Bhaskara pour déterminer la trajectoire d’une fusée jouet. Ce défi pratique vous permettra de consolider vos compétences en identification des coefficients, en calcul du discriminant et en utilisation de la formule dans un contexte réel.

Instructions

• Formez un groupe de 4 ou 5 élèves.

• Étudiez le problème pratique communiqué par l’enseignant, qui comporte les paramètres de lancement de la fusée.

• Repérez les coefficients a, b et c dans l’équation modélisant la trajectoire de la fusée.

• Calculez le discriminant Δ à l’aide de la formule Δ = b² - 4ac.

• Utilisez la formule de Bhaskara pour trouver les solutions, et donc déterminer les points de décollage et d’atterrissage de la fusée.

• Préparez une présentation succincte (environ 5 minutes) détaillant votre démarche et les résultats obtenus.

• Présentez vos conclusions devant la classe.