Fonction du second degré : Graphique et Tableau | Résumé Traditionnel
Contextualisation
Les fonctions du second degré sont un élément central dans l'étude des mathématiques, surtout en raison de leur large applicabilité dans divers domaines. Une fonction du second degré est représentée par l'équation polynomiale f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Le graphique de cette fonction est une parabole, qui peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas, en fonction du signe du coefficient a. Ce type de fonction est crucial pour comprendre des comportements quadratiques et modéliser des phénomènes naturels et artificiels, tels que le mouvement de projectiles et la forme des antennes paraboliques. En plus de son utilisation dans des contextes théoriques, les fonctions du second degré ont des applications pratiques significatives. Par exemple, la trajectoire d'un objet lancé vers le haut, comme un ballon de basket ou une pierre, suit une trajectoire parabolique qui peut être décrite par une fonction du second degré. Un autre exemple est dans l'économie, où ces fonctions peuvent être utilisées pour modéliser la relation entre coûts et production, aidant à optimiser les processus et à maximiser les profits. Comprendre comment construire des graphiques et des tableaux pour ces fonctions permet une analyse visuelle et numérique plus efficace, facilitant l'interprétation et la prise de décisions basées sur des données.
Définition de Fonction du Second Degré
Une fonction du second degré est une fonction polynomiale qui peut être exprimée sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Cette forme est connue sous le nom de forme standard de la fonction quadratique. Le coefficient a détermine la concavité de la parabole associée au graphique de la fonction : si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut ; si a < 0, la parabole s'ouvre vers le bas. Le coefficient b influence l'inclinaison de la parabole, tandis que le coefficient c représente le point où la parabole coupe l'axe y. La fonction du second degré est caractérisée par sa symétrie par rapport à une ligne verticale appelée axe de symétrie. Cette ligne passe par le sommet de la parabole, qui est le point de maximum ou de minimum de la fonction, selon le signe de a. La formule pour trouver x du sommet est x = -b/2a. En substituant cette valeur dans la fonction, nous pouvons trouver y du sommet. Les racines de la fonction du second degré, également appelées zéros ou solutions, sont les valeurs de x qui rendent f(x) = 0. Ces racines peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Les racines représentent les points où la parabole croise l'axe x.
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La fonction du second degré est exprimée sous la forme f(x) = ax² + bx + c.
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Le coefficient a détermine la concavité de la parabole.
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Le sommet de la parabole est trouvé avec x = -b/2a.
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Les racines de la fonction sont trouvées en utilisant la formule quadratique.
Graphique de la Fonction du Second Degré
Le graphique d'une fonction du second degré est une parabole. Cette forme géométrique est symétrique par rapport à son axe de symétrie et possède un sommet, qui est le point de maximum ou de minimum de la parabole. La concavité de la parabole (vers le haut ou vers le bas) est déterminée par le signe du coefficient a. Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut, et si a < 0, elle s'ouvre vers le bas. Le sommet de la parabole est un point crucial qui fournit des informations sur le point de maximum ou de minimum de la fonction. La coordonnée x du sommet est calculée par la formule x = -b/2a. La coordonnée y du sommet est obtenue en substituant la valeur de x dans la fonction originale. Cela fournit une vision claire du comportement extrême de la fonction. L'axe de symétrie de la parabole est la ligne verticale qui passe par le sommet, et peut être représenté par l'équation x = -b/2a. Cet axe divise la parabole en deux parties symétriques. Les racines de la fonction, qui sont les points où la parabole croise l'axe x, sont trouvées en résolvant l'équation quadratique f(x) = 0.
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Le graphique d'une fonction du second degré est une parabole.
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La concavité de la parabole est déterminée par le signe du coefficient a.
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Le sommet est le point de maximum ou de minimum de la parabole.
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L'axe de симétrie est la ligne qui passe par le sommet et divise la parabole en deux parties symétriques.
Tableau de Valeurs
Un tableau de valeurs est un outil utile pour visualiser la relation entre x et f(x) dans une fonction du second degré. Pour construire un tableau de valeurs, on choisit différents valeurs de x, on les substitue dans l'équation de la fonction et on calcule les valeurs correspondantes de f(x). Ces paires ordonnées (x, f(x)) peuvent alors être tracées dans le plan cartésien pour esquisser le graphique de la fonction. La construction d'un tableau de valeurs aide à identifier des points importants de la parabole, comme le sommet et les racines. En choisissant des valeurs de x proches du sommet, on peut obtenir une représentation précise de la forme de la parabole. De plus, le tableau de valeurs facilite la visualisation de la symétrie de la parabole par rapport à l'axe de symétrie. Exemple pratique : Considérons la fonction f(x) = x² - 4x + 3. Pour x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, les valeurs correspondantes de f(x) sont calculées et un tableau de valeurs est construit. En traçant ces paires ordonnées dans le plan cartésien, nous pouvons esquisser le graphique de la fonction, en identifiant le sommet, l'axe de symétrie et les racines.
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Un tableau de valeurs aide à visualiser la relation entre x et f(x).
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Choisissez des valeurs de x, substituez dans l'équation et calculez f(x).
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Le tableau facilite l'identification de points importants comme le sommet et les racines.
Exemple Pratique
Pour illustrer la théorie avec un exemple pratique, considérons la fonction f(x) = x² - 4x + 3. D'abord, nous identifions les coefficients : a = 1, b = -4, et c = 3. Ensuite, nous construisons un tableau de valeurs en choisissant différentes valeurs de x et en calculant les valeurs correspondantes de f(x) : Pour x = -1, f(x) = (-1)² - 4(-1) + 3 = 8 ; Pour x = 0, f(x) = 0² - 4(0) + 3 = 3 ; Pour x = 1, f(x) = 1² - 4(1) + 3 = 0 ; Pour x = 2, f(x) = 2² - 4(2) + 3 = -1 ; Pour x = 3, f(x) = 3² - 4(3) + 3 = 0 ; Pour x = 4, f(x) = 4² - 4(4) + 3 = 3 ; Pour x = 5, f(x) = 5² - 4(5) + 3 = 8. Avec ces valeurs, nous pouvons construire un tableau et tracer les points dans le plan cartésien. Le sommet de la parabole est trouvé en utilisant la formule x = -b/2a, ce qui donne x = 2. En substituant x = 2 dans la fonction, nous obtenons y du sommet, qui est -1. Ainsi, le sommet est (2, -1). L'axe de symétrie est x = 2, et les racines, là où la fonction croise l'axe x, sont x = 1 et x = 3. Cet exemple pratique démontre comment la théorie de la fonction du second degré peut être appliquée pour construire des tableaux de valeurs et des graphiques. L'identification du sommet, de l'axe de symétrie et des racines facilite la compréhension du comportement de la parabole et de ses caractéristiques principales.
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Exemple pratique : f(x) = x² - 4x + 3.
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Construisez un tableau de valeurs pour différents x.
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Identifiez le sommet, l'axe de symétrie et les racines.
À Retenir
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Fonction du Second Degré : Une fonction polynomiale exprimée comme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0.
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Parabole : Le graphique d'une fonction du second degré, qui peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas.
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Sommet : Le point de maximum ou de minimum de la parabole, calculé comme x = -b/2a.
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Axe de Symétrie : La ligne verticale qui passe par le sommet de la parabole, la divisant en deux parties symétriques.
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Racines : Les valeurs de x qui rendent f(x) = 0, trouvées en utilisant la formule quadratique.
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Coefficient a : Détermine la concavité de la parabole (vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0).
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Tableau de Valeurs : Un outil pour visualiser la relation entre x et f(x) dans une fonction du second degré.
Conclusion
Au cours de la leçon, nous avons exploré la définition et les caractéristiques des fonctions du second degré, en nous concentrant sur leur représentation graphique et sur les tableaux de valeurs. Nous avons appris qu'une fonction du second degré est exprimée comme f(x) = ax² + bx + c, où 'a' détermine la concavité de la parabole. Le graphique de cette fonction est une parabole qui possède un sommet, un axe de symétrie et des racines qui peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique. La construction de tableaux de valeurs est un outil important pour visualiser la relation entre x et f(x) et pour esquisser le graphique d'une fonction du second degré. Cette pratique nous aide à identifier des points critiques de la parabole, comme le sommet et les racines, fournissant une compréhension plus claire du comportement de la fonction. Nous avons utilisé un exemple pratique pour illustrer ces concepts, démontrant l'application de la théorie dans la construction de graphiques et l'analyse de fonctions. La compréhension des fonctions du second degré est essentielle pour diverses applications pratiques et théoriques, depuis l'analyse des mouvements parabolique en physique jusqu'à la modélisation des relations économiques. Cette connaissance permet une analyse visuelle et numérique efficace, facilitant l'interprétation et la prise de décisions basées sur des données. Nous encourageons la continuité des études pour une meilleure compréhension et application de ces concepts dans différents contextes.
Conseils d'Étude
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Pratiquez la construction de tableaux de valeurs et l'esquisse de graphiques pour différentes fonctions du second degré. Cela aidera à renforcer votre compréhension de la relation entre les coefficients et la forme de la parabole.
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Revoyez la formule quadratique et pratiquez la résolution d'équations quadratiques pour trouver les racines des fonctions du second degré. Comprendre comment trouver les racines est crucial pour l'analyse complète de la fonction.
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Explorez des applications pratiques des fonctions du second degré dans d'autres disciplines, comme la physique et l'économie. Cela aidera à voir la pertinence du concept dans des contextes réels et à développer une compréhension plus profonde du sujet.
