Objectifs
1. Identifier les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente pour les angles de 30°, 45° et 60°.
2. Utiliser les notions de sinus, cosinus et tangente pour calculer les dimensions dans les triangles rectangles.
3. Développer la capacité à résoudre des cas concrets à l’aide des principes trigonométriques.
Contextualisation
La trigonométrie, et plus particulièrement l’étude des angles de 30°, 45° et 60°, est un outil incontournable en mathématiques, aux applications multiples dans la vie de tous les jours. Que ce soit pour concevoir une rampe d’accès pour fauteuil roulant ou pour estimer la hauteur d’un bâtiment en fonction de la longueur de son ombre, ces situations concrètes font appel aux concepts trigonométriques. Maîtriser l’utilisation du sinus, du cosinus et de la tangente à ces angles, c’est s’équiper pour aborder avec précision et efficacité divers problèmes réels.
Pertinence du sujet
À retenir !
Sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle se définit comme le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle de l’hypoténuse. Pour les angles de 30°, 45° et 60°, ces valeurs sont bien établies et se retrouvent dans divers cas pratiques.
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Sinus de 30° : 1/2
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Sinus de 45° : √2/2
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Sinus de 60° : √3/2
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Utilisé dans le calcul de hauteurs et de distances dans des applications en ingénierie et en architecture.
Cosinus
Le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle correspond au rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse. Comme le sinus, cette fonction est indispensable pour résoudre des problèmes trigonométriques.
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Cosinus de 30° : √3/2
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Cosinus de 45° : √2/2
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Cosinus de 60° : 1/2
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Essentiel pour le calcul des projections et pour décomposer les forces en physique.
Tangente
La tangente d’un angle est le rapport du sinus à ce même cosinus, ce qui revient à comparer la longueur du côté opposé à celle du côté adjacent. Elle est particulièrement utile pour déterminer des pentes ou des angles d’élévation.
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Tangente de 30° : √3/3
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Tangente de 45° : 1
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Tangente de 60° : √3
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Employée pour calculer les pentes et les angles dans les projets de construction ou d’ingénierie.
Applications pratiques
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Construction de rampes pour fauteuils roulants : Utilisez le sinus, le cosinus et la tangente pour déterminer les dimensions nécessaires à une pente sécurisée.
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Estimation de la hauteur d’un bâtiment : Appliquez la tangente de l’angle d’élévation solaire pour estimer la hauteur à partir de la longueur de l’ombre.
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Projets de toitures : Choisissez l’angle adéquat parmi 30°, 45° et 60° pour garantir une pente facilitant l’écoulement de l’eau.
Termes clés
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Sinus : rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
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Cosinus : rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
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Tangente : rapport entre le côté opposé et le côté adjacent dans un triangle rectangle.
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Hypoténuse : le côté le plus long d’un triangle rectangle, situé en face de l’angle droit.
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Côté opposé : le côté se trouvant en face de l’angle étudié dans un triangle rectangle.
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Côté adjacent : le côté qui forme l’angle étudié à côté de l’hypoténuse.
Questions pour réflexion
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En quoi la précision des calculs trigonométriques influence-t-elle la sécurité d’une construction ?
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Selon vous, comment la trigonométrie peut-elle être utilisée dans des domaines autres que l’ingénierie ou l’architecture ?
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Quel a été le principal défi rencontré lors de l’application des concepts de sinus, cosinus et tangente dans la construction du modèle de rampe ?
Calculer la hauteur d’un bâtiment
Servez-vous des concepts du sinus, du cosinus et de la tangente pour déterminer la hauteur d’un bâtiment en fonction de la longueur de son ombre.
Instructions
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Représentez la situation par un triangle rectangle où le bâtiment et son ombre correspondent aux différents côtés.
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Utilisez un rapporteur pour mesurer l’angle d’élévation du soleil (choisissez 30°, 45° ou 60°).
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Supposez que la longueur de l’ombre soit de 15 mètres et mesurez-la sur votre dessin.
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Calculez la hauteur du bâtiment en appliquant la tangente de l’angle choisi.
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Présentez vos calculs et le résultat final dans un bref rapport.
