Nietta

Flashcards: DIVISIONE: La divisione, come la sottrazione, non può essere considerata come operazione in N. Nella divisione su N, a differenza dell'addizione e moltiplicazione, si parte da una coppia di numeri (a, b) e si ha come risultato un'altra coppia di numeri (q, r) in cui q è il QUOZIENTE e r è il RESTO. Questa coppia ESISTE ed è UNICA (E!). ÷ : N x N --> N x N (a,b) --> (q,r) Il risultato è sempre una coppia di numeri, anche se il RESTO è 0. Inoltre, QUOZIENTE è il risultato che ha r > 0, mentre QUOTO è il risultato che ha r = 0. Fare la divisione in N tra due numeri naturali “a” e “b” significa trovare altri due numeri “q” e “r” tali che a = b x q + r, a condizione che: "a" sia maggiore o uguale di "b". Infatti, se "b" non è più piccolo di "a" in N, allora non posso fare la divisione (Es: come faccio a distribuire 3 caramelle tra 7 bambini o vedere quante volte 7 è contenuto in 3?); un'altra condizione è che "r" sia maggiore o uguale a 0 e strettamente minore di "b" (Es. Quanti libri posso comprare per 350 euro, se un libro costa 14 euro? Se ottengo come resto 15, significa che ne posso comprare un altro). La divisione può essere considerata come operazione inversa della moltiplicazione solo nel caso particolare in cui il resto è uguale a 0. In questo caso specifico, se la moltiplicazione è un'addizione ripetuta, la divisione può essere vista come una sottrazione ripetuta. Nel campo dei numeri naturali, alla divisione si associano due concetti, legati ai processi mentali che lo studente innesca nella risoluzione di un problema con una divisione (cosa fa fisicamente): il primo concetto riguarda l'idea di distribuzione/ripartizione (es. ho 100 caramelle e siamo 23, quante caramelle avrà ciascuno?; il secondo concetto concerne l'idea di contenenza (es. se un libro costa 14 euro, quanti libri puoi comprare con 350 euro?). SVUOTAMENTO DEL DIVIDENDO (divisione alla canadese): nel corso del terzo anno e all’inizio del quarto, l’insegnante dovrebbe indirizzare progressivamente la classe all’utilizzo di questa strategia: attraverso il calcolo di quanto resta dopo aver tolto dal dividendo il risultato delle prove iniziali, nuove prove sul resto e così via fino allo svuotamento del dividendo. È la strategia semanticamente corrispondente alla usuale tecnica di calcolo scritto (che risulta, in verità, una contrazione di questa strategia). MISURAZIONE: La misurazione consiste nel fare un confronto tra un oggetto e un altro. la misurazione è indiretta e avviene attraverso uno strumento. FRAZIONE o NUMERI RAZIONALI: L’introduzione dei razionali risponde ad: esigenze concrete (contare, misurare); esigenze di natura matematica (risolvere le equazioni, effettuare sempre la divisione qualunque coppia di numeri naturali considero). Il concetto di frazione ci permette di lavorare sia con quantità continue (non ha rotture), sia con quantità discrete (gli oggetti sono separati e li posso contare). Per parlare di frazioni, devo costruire la base frazionaria 1/n. Indico con 1/n un’unità di ordine inferiore ottenuta suddividendo l’unità originaria in n parti uguali. Se una data grandezza misura esattamente m di tali unità di ordine inferiore, la sua misura si indica con il simbolo m/n. Tale simbolo si chiama FRAZIONE O RAPPORTO. Quando m ed n sono numeri interi, il numero m/n si dice numero razionale. La frazione è un numero, caratterizzato dal partire da due numeri naturali, m e n, laddove m è numeratore e n denominatore. Il numeratore indicante quante volte considero l’unità frazionata, il denominatore in quante parti divido l’unità. - PROPRIA: possiamo definirla come parte di un intero (quando il numeratore è minore del denominatore). - IMPROPRIA: possiamo definirla come somma di unità frazionate (quando il numeratore è maggiore del denominatore). La frazione è un numero decimale, che può essere: - finito (cioè con un numero finito di cifre decimali) - infinito periodico (con cifre decimali che si ripetono all’infinito) Nell’insieme dei numeri naturali, tra 2 numeri naturali interi consecutivi non c’è nulla. N è un insieme discreto. Nell’insieme dei numeri razionali, tra due frazioni invece ce n’è sempre un’altra, e poi sempre un’altra. Q è un insieme denso. PROPRIETA’ INVARIANTIVA: La proprietà invariantiva delle frazioni afferma che moltiplicando o dividendo (se possibile) sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero intero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella di partenza, cioè che rappresenta lo stesso valore. FRAZIONE DECIMALE: per definizione è quella in cui il denominatore è 10 (o una potenza di 10), oppure tutte quelle frazioni che sono riconducibili a una decimale (es. quelle al cui denominatore c’è 2, 5, 10, prodotti di questi numeri o potenze miste di questi numeri). Quando ho frazioni decimali, la parte decimale è sempre finita. Es: 3/25 è una frazione decimale perché posso moltiplicare: 25* 2^2 = 100 FRAZIONI NON DECIMALI: denominatore che non si può ricondurre a 10 o a una sua potenza. La parte decimale è infinita periodica. Es. 3/7 SOMMA DI DUE FRAZIONI CON DENOMINATORI DIVERSI: moltiplico la prima frazione con una frazione in cui al numeratore e al denominatore c’è il denominatore della seconda frazione, e la sommo con la seconda frazione moltiplicata per una frazione in cui al numeratore e al denominatore c’è il denominatore della prima. Es. 2/3 + 4/7 = ( 2/3 * 7/7 ) + ( 4/7 * 3/3 ) DIVISIBILITA': è una proprietà dei numeri. Essa definisce divisori e multipli, che sono numeri. - MULTIPLO: Per ogni n, p numeri naturali, si dice che n è un multiplo di p se esiste un numero naturale k tale che n = p * k Se ho un numero p, posso pensare a un suo multiplo moltiplicandolo per ogni numero naturale (p * 2, p * 3, p * 4, …). Siccome N è infinito, ho infiniti multipli. - DIVISORE: Per ogni a, b numeri naturali, si dice che a è un divisore di b se esiste numero naturale h tale che b = a * h Se ho un numero, i suoi divisori sono tutti e soli quegli interi che lo scompongono in parti intere finite, senza resto. NUMERI PRIMI: Sono numeri che hanno come divisori sono solo 1 (l’unità) e se stessi. Tutti gli altri numeri ammettono (oltre a 1 e a se stessi) anche altri divisori. I numeri primi sono infiniti. TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA: Ogni numero naturale si può sempre scrivere (o si scompone) in uno e in un solo modo come prodotto dei suoi fattori primi. Tale scrittura è unica e lo identifica (ignorando l’ordine dei fattori). FATTORE PRIMO: Per fattore primo si intende un divisore che è numero primo. Si possono stabilire i fattori primi di un numero attraverso la sua scomposizione (in fattori primi). Per tale scopo, esistono dei “criteri di divisibilità”. PICCOLO TEOREMA DI FERMAT: Ci sono numeri molto grandi che si scompongono solo in 2 fattori primi.

Conoscere se stessi e gli altri