Ringkasan Tradisional | Fungsi Darjah Kedua: Graf dan Jadual

Kontekstualisasi

Fungsi kuadratik adalah elemen penting dalam kajian matematik, terutama kerana penggunaannya yang meluas dalam pelbagai bidang. Sesuatu fungsi kuadratik dinyatakan dengan persamaan polinomial f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah pekali tetap dan a ≠ 0. Graf fungsi ini berbentuk parabola, yang boleh terbuka ke atas atau ke bawah bergantung pada tanda pekali a. Jenis fungsi ini sangat penting untuk memahami tingkah laku kuadratik dan untuk pemodelan fenomena semula jadi serta buatan, seperti gerakan peluru dan bentuk pemancar satelit. Selain daripada aplikasi teorinya, fungsi kuadratik juga mempunyai kegunaan praktikal yang signifikan. Contohnya, trajektori objek yang dibaling ke atas, seperti bola keranjang atau batu, mengikuti laluan parabola yang boleh diterangkan menggunakan fungsi kuadratik. Dalam bidang ekonomi, fungsi ini juga digunakan untuk memodelkan hubungan antara kos dan pengeluaran, membantu dalam mengoptimumkan proses serta memaksimumkan keuntungan. Memahami cara membina graf dan jadual bagi fungsi-fungsi ini membolehkan analisis visual dan numerik yang lebih berkesan, memudahkan interpretasi dan pembuatan keputusan berdasarkan data.

Untuk Diingati!

Definisi Fungsi Kuadratik

Fungsi kuadratik adalah fungsi polinomial yang boleh ditulis dalam bentuk f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah pekali tetap dan a ≠ 0. Bentuk ini dikenali sebagai bentuk standard fungsi kuadratik. Pekali a menentukan bentuk parabola yang berkaitan dengan graf fungsi tersebut: jika a > 0, parabola terbuka ke atas; jika a < 0, parabola terbuka ke bawah. Pekali b mempengaruhi kecerunan parabola, manakala pekali c menunjukkan titik di mana parabola memotong paksi-y. Fungsi kuadratik dicirikan oleh simetrinya di sekitar garis menegak yang dipanggil paksi simetri. Garis ini melalui titik puncak parabola, yang merupakan titik maksimum atau minimum fungsi bergantung pada tanda a. Formula untuk mencari koordinat x puncak adalah x = -b/2a. Dengan menggantikan nilai ini ke dalam fungsi, kita boleh mendapatkan koordinat y puncak tersebut. Akar-akar fungsi kuadratik, yang juga dikenali sebagai sifar atau penyelesaian, adalah nilai-nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Akar-akar ini boleh dicari menggunakan formula kuadratik x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Akar-akar ini menunjukkan titik di mana parabola memotong paksi-x.

• Fungsi kuadratik dinyatakan sebagai f(x) = ax² + bx + c.

• Pekali a menentukan bentuk parabola.

• Titik puncak parabola dicari menggunakan x = -b/2a.

• Akar fungsi dicari menggunakan formula kuadratik.

Graf Fungsi Kuadratik

Graf fungsi kuadratik berbentuk parabola. Bentuk geometri ini simetri berkenaan dengan paksi simetri dan mempunyai titik puncak, yang merupakan titik maksimum atau minimum parabola. Bentuk parabola (ke atas atau ke bawah) ditentukan oleh tanda pekali a. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas; jika a < 0, ia terbuka ke bawah. Titik puncak parabola adalah titik penting yang memberikan maklumat tentang titik maksimum atau minimum fungsi. Koordinat x puncak dikira menggunakan formula x = -b/2a. Koordinat y puncak diperoleh dengan menggantikan nilai x ke dalam fungsi asal, memberikan gambaran yang jelas tentang tingkah laku ekstrem fungsi tersebut. Paksi simetri adalah garis menegak yang melalui titik puncak dan boleh diwakili dengan persamaan x = -b/2a. Garis ini membahagikan parabola kepada dua bahagian yang simetri. Akar-akar fungsi, di mana parabola memotong paksi-x, diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik f(x) = 0.

• Graf fungsi kuadratik berbentuk parabola.

• Bentuk parabola ditentukan oleh tanda pekali a.

• Titik puncak adalah titik maksimum atau minimum parabola.

• Paksi simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan membahagikan parabola kepada dua bahagian yang simetri.

Jadual Nilai

Jadual nilai adalah alat yang berguna untuk menggambarkan hubungan antara x dan f(x) dalam fungsi kuadratik. Untuk membina jadual nilai, kita pilih beberapa nilai x, gantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan fungsi, dan kira nilai f(x) yang sepadan. Pasangan berurutan (x, f(x)) ini kemudiannya boleh diplotkan pada satah Cartesian untuk melukis graf fungsi tersebut. Membina jadual nilai membantu mengenal pasti titik-titik penting parabola, seperti titik puncak dan akar-akar. Dengan memilih nilai x yang dekat dengan titik puncak, kita dapat memperoleh gambaran yang tepat tentang bentuk parabola. Selain itu, jadual nilai memudahkan visualisasi simetri parabola terhadap paksi simetri. Contoh praktikal: Pertimbangkan fungsi f(x) = x² - 4x + 3. Untuk x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, nilai-nilai f(x) yang sepadan dikira dan jadual nilai dibina. Dengan memplotkan pasangan berurutan ini pada satah Cartesian, kita dapat melukis graf fungsi, mengenal pasti titik puncak, paksi simetri, dan akar-akar.

• Jadual nilai membantu menggambarkan hubungan antara x dan f(x).

• Pilih nilai x, gantikan ke dalam persamaan, dan kira f(x).

• Jadual ini membantu mengenal pasti titik-titik penting seperti titik puncak dan akar-akar.

Contoh Praktikal

Untuk menggambarkan teori dengan contoh praktikal, pertimbangkan fungsi f(x) = x² - 4x + 3. Pertama, kita kenal pasti pekali-pekaalnya: a = 1, b = -4, dan c = 3. Kemudian, kita membina jadual nilai dengan memilih pelbagai nilai x dan mengira nilai f(x) yang sepadan: Bagi x = -1, f(x) = (-1)² - 4(-1) + 3 = 8; Bagi x = 0, f(x) = 0² - 4(0) + 3 = 3; Bagi x = 1, f(x) = 1² - 4(1) + 3 = 0; Bagi x = 2, f(x) = 2² - 4(2) + 3 = -1; Bagi x = 3, f(x) = 3² - 4(3) + 3 = 0; Bagi x = 4, f(x) = 4² - 4(4) + 3 = 3; Bagi x = 5, f(x) = 5² - 4(5) + 3 = 8. Dengan nilai-nilai ini, kita boleh membina jadual dan memplotkan titik-titik tersebut pada satah Cartesian. Titik puncak parabola dicari menggunakan formula x = -b/2a, menghasilkan x = 2. Menggantikan x = 2 ke dalam fungsi memberikan koordinat y puncak, iaitu -1. Jadi, titik puncak adalah (2, -1). Paksi simetri adalah x = 2, dan akar-akar, di mana fungsi memotong paksi-x, adalah x = 1 dan x = 3. Contoh praktikal ini menunjukkan bagaimana teori fungsi kuadratik boleh diaplikasikan dalam pembinaan jadual nilai dan graf. Mengenal pasti titik puncak, paksi simetri, dan akar-akar memudahkan pemahaman tentang tingkah laku parabola serta ciri-cirinya yang utama.

• Contoh praktikal: f(x) = x² - 4x + 3.

• Bina jadual nilai untuk pelbagai nilai x.

• Kenal pasti titik puncak, paksi simetri, dan akar-akar.

Istilah Utama

• Fungsi Kuadratik: Fungsi polinomial yang dinyatakan sebagai f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah pekali tetap dan a ≠ 0.

• Parabola: Graf fungsi kuadratik, yang boleh terbuka ke atas atau ke bawah.

• Titik Puncak: Titik maksimum atau minimum parabola, dikira sebagai x = -b/2a.

• Paksi Simetri: Garis menegak yang melalui titik puncak parabola, membahagikannya kepada dua bahagian yang simetri.

• Akar: Nilai x yang menjadikan f(x) = 0, dicari menggunakan formula kuadratik.

• Pekali a: Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas jika a > 0, ke bawah jika a < 0).

• Jadual Nilai: Alat untuk menggambarkan hubungan antara x dan f(x) dalam fungsi kuadratik.

Kesimpulan Penting

Dalam pelajaran ini, kita telah meneroka definisi dan ciri-ciri fungsi kuadratik, dengan penekanan kepada representasi graf dan jadual nilai. Kita belajar bahawa fungsi kuadratik dinyatakan sebagai f(x) = ax² + bx + c, di mana 'a' menentukan bentuk parabola. Graf fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai titik puncak, paksi simetri, dan akar-akar yang boleh dicari melalui formula kuadratik. Membina jadual nilai adalah alat penting untuk menggambarkan hubungan antara x dan f(x) serta untuk melukis graf fungsi kuadratik. Amalan ini membantu kita mengenal pasti titik-titik kritikal parabola, seperti titik puncak dan akar-akar, serta memberikan pemahaman yang lebih jelas tentang tingkah laku fungsi tersebut. Kita menggunakan contoh praktikal untuk menggambarkan konsep-konsep ini, menunjukkan aplikasi teori dalam pembinaan graf dan analisis fungsi. Pemahaman tentang fungsi kuadratik adalah penting untuk pelbagai aplikasi praktikal dan teoretikal, dari analisis gerakan parabola dalam fizik hingga pemodelan hubungan ekonomi. Pengetahuan ini membolehkan analisis visual dan numerik yang efisien, memudahkan interpretasi dan pembuatan keputusan berdasarkan data. Kami menggalakkan anda untuk teruskan pengajian bagi memahami dan menerapkan konsep-konsep ini dalam pelbagai konteks.

Tip Belajar

• Berlatih membina jadual nilai dan melakar graf bagi fungsi-fungsi kuadratik yang berbeza. Ini akan membantu memperkukuh pemahaman anda tentang hubungan antara pekali dan bentuk parabola.

• Ulang kaji formula kuadratik dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadratik untuk mencari akar-akar fungsi kuadratik. Pemahaman tentang cara mencari akar adalah penting untuk analisis lengkap fungsi tersebut.

• Terokai aplikasi praktikal fungsi kuadratik dalam subjek lain, seperti fizik dan ekonomi. Ini akan membantu anda melihat kaitan konsep ini dalam konteks sebenar serta mengembangkan pemahaman yang mendalam tentang topik tersebut.